Erkennt man an, dass jedes beliebige Maß, selbst wenn es differenziale Größe besitzt,
durch 2 und mehr teilbar ist, gerät zuerst der pragmatische, später der gedankliche
Gebrauch, jedoch unweigerlich beide, recht schnell an ihr ausgleitendes Ende.

Schon nach siebenunddreißig Halbierungen zeigt eine herkömmliche Rechenmaschine
auf ihrem Display elf Nullen hinter dem Komma an, bevor sie auf eine endgültige Null
springt, die klipp und klar sagt: "Nichts geht mehr".

Hier fängt die geistige Vorstellung der Halbierung an, wenn man diese nicht einem
Computer, der, wie man weiß, zu abermillionsten Teilungen fähig ist, überträgt, der
zweifelsohne aber der bis in die Unendlichkeit entweichenden Größe, allein aus zeitlichen
Gründen, nicht zu folgen vermag. Es geht der perfektionierten Maschine Computer
nicht anders als der Rechenmaschine: Irgendwann geraten beide an ihre Grenzen.

Computer ist lediglich der Bildschirm etwas größer als das Display der Rechenmaschine,
das Ergebnis ist dasselbe !

Nicht so für den Geist. Er weiß, dass es dem Computer so ergeht wie der
Rechenmaschine. Wenn das nun tatsächlich der Fall ist, könnte man sich vorstellen,
dass es in naher oder ferner Zukunft noch leistungsstärkere Maschinen gibt, als wir
sie heute kennen. Selbst wenn es irgendwann Computer gäbe, die das Zigfache der
heutigen Maschinen leisteten, und wenn wir in der Lage wären, auf eine futuristische
Art den Zeitfaktor der Berechnungsdauer in den Griff zu bekommen, entschwände die
letztgeteilte Größe letztlich dennoch aus der Maschine und wäre somit nicht sinnlich
fassbar zu machen.
Es bleibt, was wir auch tun, bei dem Ergebnis der Rechenmaschine.
Hier findet der Geist ein Prinzip:

Und doch (wir wissen es im Geheimen) kann das nicht wahr sein, denn wir erkennen
doch an, dass jedes beliebige Mass, selbst wenn es differenziale Größe besitzt, durch
2 und mehr teilbar ist. Der größte Computer, das haben wir gesehen, kann sich nicht
selbst überschreiten und unterliegt in seiner Funktion qualitativen und quantitativen
Grenzen.
Es geht ihm so wie der Rechenmaschine: Diese zeigt nach der siebenunddreißigsten
Teilung von 1 auf ihren Display eine endgültige 0 an, obwohl wir mit dem Computer
bewiesen haben, dass das nicht stimmt, denn dieser rechnet, sprich 'teilt'
unverdrossen und ohne Rücksicht auf die kleine Maschine weiter!
Wenn auf dem Bildschirm eines quantitativ ins Unendliche reichenden Computers eine
0 erscheint, muß das Ergebnis ebensowenig stimmen wie jenes der Rechenmaschine.
Wo aber sind die Zahlengrößen hin?

Sie befinden sich nachweislich außerhalb der Maschine!
So geht es weiter und weiter, von einer Maschine zur anderen und, wie gesagt, ohne
Berücksichtigung des Zeitfaktors. Hier - oder auch schon früher - setzt spätestens der
Zweifel an den von Computern angezeigten Ergebnissen ein.
Logische Intelligenz ist gefragt. Der Zweifel an nachweislichen Ergebnissen wird
geboren. Die Philosophie betritt die mathematische Bühne. Da steht sie nun, wohl
wissend, dass jeder Wert, da er ist, nie nicht sein kann, selbst wenn man ihn bis in die
Unendlichkeit hinein teilt, und sie fragt sich berechtigt: Wo sind die abgeteilten Teile
hin? Da ein Teil da ist, muß auch der andere noch da sein oder beide sind eliminiert.
Was aber bedeutet Eliminierung des Seienden? Ist das überhaupt möglich?
Wenn ja, wer setzt die Grenzen des Teilens?
Die Beliebigkeit? Ein bewusster Wille?
Eines ist klar: Die Mathematik ist nicht zu Ende gedacht.

Wo, beispielsweise, bleibt die zweite Hälfte der geteilten Größe?

übersieht die doch so kluge Mathematik das Gesetz der Symmetrie?
Das antagonistische Denken beherrscht den Menschen und mit ihm die Zahl.
In der Gleichung klingt leise und zaghaft die Glocke der Juxtaposition. Aber warum
durchzieht dieser Ansatz nicht konsequent jede Operation mit Zahlen?
sei transzendent und irrational, so sagt man und behauptet, ihr deshalb geometrisch
nicht folgen zu können. Die einseitige Logik Lindemanns mag auf der einen Seite und
innerhalb des von ihm angenommenen Wirklichkeitsgrades des Axioms 1 und des
euklidschen Parallelenaxioms begrenzt stimmen.
Wo aber ist der Rest von zu der Zahl 4? (0,858407347)
Ist diese Zahl bedeutungslos?
Oder drücken ihre Dezimalstellen (transzendent und irrational) nur die fehlende Fläche
zum Quadrat aus dem Durchmesser des Kreises aus?

4 - 3,141592653 = 0,858407347

Ob das nun neu oder nicht neu ist, braucht nicht beachtet zu werden, zeigt es durch
die Richtigkeit der Behauptung, dass der 'Rest' eines Vorganges nicht ohne Bedeutung
ist. Im Gegenteil:
Man kann aus dem Rest einer Operation in einer Art Gegenprobe oder sogar direkt
auf das angestrebte Ergebnis schließen. Die Fläche des Kreises läßt sich z.B. auch
von außen her bestimmen.

Was aber ist mit den aus dem Computer verschwundenen Brüchen der Halbierungsreihe
geschehen? Geistern diese irgendwo unfaßbar im Unendlichen herum?
Gibt es sie - in die fernste Ferne und kleinste Kleinheit verschwunden - überhaupt
noch? Logischerweise muß man die Frage mit 'ja' beantworten oder die Aussage, dass
sich jedes Maß, einmal vorhanden, bis ins Unendliche teilen läßt, ist unwahr.
Könnte vielleicht sogar beides stimmen?

Sie, die Brüche, sind noch da, jedoch auch nicht mehr vorhanden?
Das wäre ein mathematisches Paradoxon. Ließen wir es zu, wäre die gesamte Existenz
in der Wirklichkeit ihrer Vorhandenheit in Frage gestellt, denn wer sagt uns, dass wir,
die wir in Bezug auf das Ganze sehr klein sind, ähnlich den verschwundenen Brüchen,
im Vergleich zu ihrer ungeteilten Ganzheit, überhaupt existieren.
Bedenkt man jedoch die Behauptung, dass 1 : 2 nicht 0,5 sein soll, sondern als
0,5 + 0,5 definiert werden muß, ergibt sich in Folge dieser neuen Betrachtungsweise
eine absolut neue Sicht der Wirklichkeit eines Teilungsprozesses.

Je weiter geteilt wird, um so größer wächst der zurückbleibende, jedoch nicht
beachtete 'Rest' und zwar in der Form, dass die Größe letztlich und in die
Konsequenz unendlicher Teilung getrieben, 'hinter sich' in dem Maße sich selbst
anwachsen läßt, dass sie in voller Größe wieder auftaucht.

Das läßt die Behauptung zu:

Teilungen finden nur zum Schein statt. Sie besitzen keine Wirklichkeit.

Daraus folgert:
Es gibt nur eine einzige mathematische Größe. Diese muß gezwungenermaßen
unbegrenzt sein, gleichgültig, ob sie als Punkt, Linie oder Fläche in Erscheinung tritt,
und ebenso gleichgültig, ob sie statisch oder dynamisch wahrgenommen wird.
Dieses Ur-Axiom ist unfassbar, unbenennbar, doch nichtsdestoweniger vorhanden.
Wäre es nicht da, gäbe es nichts, rein gar nichts, nicht einmal die Wahrnehmung, dass
es nichts gibt.
Setzt man voraus, dass alle axiomalen Behauptungen, wie wir wissen, nicht bewiesen
werden müssen, weil sie es selbst tun, könnte man die herkömmliche euklidsche und
nichteuklidsche Betrachtungsweise der Parallelenaxiome fallen lassen zugunsten eines
Generalaxiomes, welches behauptet und beweist:

Jede Gerade ist eine Gekrümmte. Jede Gekrümmte ist eine Gerade.

Wie das?

Stellen wir uns einen unendlich großen Kreis vor, der so groß ist, dass jede auf der
Peripherie abgetragene Strecke nicht als gekrümmt, sondern als gerade erschiene.
(Ähnlich verfahren wir bei der Berechnung des Kreisumfanges auf der Basis des
unendlichen Vielecks, nur hier benutzen wir die Differenziale.)
Dieser unendlich ausgedehnte Kreis besäße natürlich eine Peripherie und es erhöbe
sich sofort die Frage, nach weicher Seite diese gekrümmt sei, d.h., wo außen und
innen des Kreises wären.
Da, wie gesagt, der Kreis jedoch so groß wäre, dass die Frage unbeantwortbar bleiben
müsste, könnte man sich logischerweise darauf verständigen, dass beides gleichzeitig
möglich ist und die Gerade als Gekrümmte nach beiden Seiten bezeichnen, was
wiederum dafür spräche, dass diese keine Gekrümmte, sondern eine Gerade sein
müsste oder alles gleichzeitig oder nichts davon.

Um nun zu unseren Geraden zurückzukommen, die zwei Gekrümmte ist und die uns
aufgrund dieser axiomalen Tatsache, deren Gegenteil nicht zu beweisen ist, in die Lage
versetzt, die euklidsche und die nichteuklidsche Geometrie miteinander sich
nicht widersprechend zu verbinden, lassen sich in Bezug auf die Parallelaxiome weitere
umseitig aufgeführte Behauptungen ableiten: